Estrem superiôr e estrem inferiôr

In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

Maiorants e minorantsModifiche

 
I ponts blu a rapresentin l'insiemi  , i ponts ros cualchi maiorant di  . Il romp ros al rapresente l'estrem superiôr di  .

Al sedi   un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di   cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di   (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di   si disin minorants di  . In maniere formâl

  •   al è un maiorant di   se e dome se  ,  ;
  •   al è un minorant di   se e dome se  ,  .

Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.

  • L'interval sierât   al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di  . Al contrari, i minorants di   a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
  • L'interval sierât e ilimitât a diestre   al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
  • L'insiemi dai numars intîrs   nol à ni maiorants ni minorants. Duncje, al è ilimitât.
  • L'insiemi   al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

Estrem superiôr e estrem inferiôrModifiche

Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi   il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di  . Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl   al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi   di  , e si scrîf  , se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:

  1.   al è maiôr di ducj i elements di   e
  2. par cualsisei   reâl minôr di  , al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di   che i è maiôr.

In fat, si à  , cualsisei  , viodût che   al à di jessi un maiorant di  . Però   al è il plui piçul dai maiorants: se  , alore   nol è un maiorant di   e, duncje, al esist almancul un element   tal che  .

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi   al à massim  , alore si à  . In fat, l'insiemi dai maiorants di   al è

 
L'estrem superiôr di   al è il minim dai siei maiorants e, duncje,
 

In maniere reciproche, se un insiemi   al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi  , alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi  . Al baste pensâ che   al è un maiorant di   (il plui piçul) e, duncje,   par cualsisei  . Però, cheste proprietât di   e coincît cun la definizion di massim di   cuant che   o, in curt,

 

EsemplisModifiche

Considerant i esemplis fats prime, l'interval   e l'insiemi dai numars intîrs   a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval  , invezit, al è

 
e, duncje, l'estrem superiôr di   al è
 
Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi
 
al è  .

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert   l'insiemi dai maiorants al è

 
Chest al vûl dî che
 
Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert  , che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è

 
I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât   e si à  . Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e.,  ) e, duncje,   nol à massim.

Estrems e completece dai numars reâiModifiche

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di   che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di   che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl. Cheste proprietât e je cognossude come la completece di   secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi   a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi

 

Cuant che o cjalìn   come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è

 
Jessint che   nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi
 
Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi   nol à minim e, duncje, l'insiemi   nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di   pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è

 
Cheste volte sì che o podìn dî che  , sint   un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi,  .

BibliografieModifiche