Numars reâi

I numars reâi a son chei numars che si doprin continuamentri par rapresentâ des grandecis che a puedin variâ in maniere continue e assumi valôrs tant positîfs che negatîfs come, par esempli, la lungjece, il pês, il passâ dal timp, … La necessitât di misurâ chestis grandecis in maniere simpri plui precise e di doprâ chestis misuris in calcui che a deventin ogni volte plui rafinâts e à partât ae nozion di numars reâi dal dì di vuê.

Introduzion

Dai numars naturâi ai numars reâi

Il concet plui intuitîf di numar al è chel dai numars naturâi ($\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$) e nus permet di contâ i elements di un insiemi (o vin cinc—5—dêts intune man), di stabilî un ordin (al è rivât il tierç—il numar 3) o di cjapâ misuris aprossimativis (la lungjece di cheste strade e je il dopli—2 voltis—di chê altre). Dispès a si àn di unî dai insiemis (tropis monedis aio se o'nd ài 3 intune sachete e 2 inta chê altre?) o contâ plui voltis la stesse cuantitât (trop cjarbon isal in 4 sacs di 10 chilos?). Lis operazions di some ($3+2=5$ monedis in totâl) e moltiplicazion ($4\times 10=40$ chilos di cjarbon) dai numars naturâi a son di aiût ta chescj câs e il risultât al è di gnûf un numar naturâl. A son altris operazions, come la sotrazion e la division, che no simpri àn un sens inte struture dai numars naturâi. Par chest mutîf, si è sintude la necessitât di introdusi i numars intîrs ($\mathbb {Z} =\{\dots -2,-1,0,1,2,\dots \}$), dulà che ancje la sotrazion e je simpri definide. Se, in plui, si vûl podê dividi par un cualsisei numar diviers di zero, ai vûl considerât i numars razionâi ($\mathbb {Q} =\{q=n/m:n,m\in \mathbb {Z} {\text{ e }}m\neq 0\}$).

Oltri dal fat che cuant che si somin, moltiplichin, sotrain o dividin doi numars razionâi simpri si oten un altri numar razionâl, i numars razionâi a àn ancje la proprietât di jessi dens, vâl a dî che tra doi cualsisei numars razionâi si cjate simpri un altri numar razionâl. Si pues duncje vê la sensazion che i numars razionâi a son suficients par descrivi lis grandecis continuis. Cun dut achel, bielzà i matematics e gjeometris de Grecie classiche (600−300~a.C.) si jerin inacuarts che a esistin des cuantitâts che no si puedin rapresentâ esatementri cuntun numar razionâl. Tipics esemplis a son la lungjece de diagonâl di un cuadrât di lât unitari o la circonference di un cercli di diametri unitari. I numars reâi a risolvin chest probleme.

I numars reâi e la lôr rapresentazion

Costruzion dal pont $\pi$ inte rete reâl.

Costruzion dal pont ${\sqrt {2}}$ inte rete reâl.

L'insiemi $\mathbb {R}$ dai numars reâi al è duncje l'insiemi di ducj i numars che a coventin par rapresentâ une grandece reâl. Al conten i numars razionâi (cul lengaç de teorie dai insiemis $\mathbb {R} \supset \mathbb {Q} \supset \mathbb {Z} \supset \mathbb {N}$) e i numars irazionâi. I numars razionâi, introdots te sezion prime, si puedin pensâ come i numars decimâi finîts (par esempli, 5 o ancje $3,25=13/4$) e i numars decimâi infinîts periodics (par esempli, $7/3=2,{\bar {3}}=2,333\dots$ o $2141/495=4,3{\overline {25}}=4,3252525\dots$). I numars irazionâi, al contrari, a corispuindin ai numars decimâi infinîts no periodics (par esempli, ${\sqrt {2}}=1,414214\dots$).

Ancje se no si puedin dâ dutis lis infinidis cifris decimâls dai numars irazionâi, la rapresentazion decimâl e je sigurementri la plui usade inte pratiche. La plui part des aplicazions e je dut câs falsade dai erôrs di misure (par esempli, cui normai metris, lis lungjecis si puedin misurâ cun la precision di un milimetri) o de memorie finide dai struments di calcul e, duncje, lis aprossimazions sui numars irazionâi no son un gros probleme se si use un numar suficient di cifris decimâls.

Intai ûs plui teoretics e, in gjenerâl, lì che al è preferibil evitâ des aprossimazions, i numars irazionâi a si rapresentin cun dai simbui o des letaris.  Tra i plui famôs si àn il numar $\pi =3,14159\dots$, che al lee il diametri e la circonference di un cercli, e il numar di Euler (o di Napier) $e=2,71828\dots$. Un altri simbul al è ${\sqrt {2}}=1,41421\dots$. Al è interessant menzonâ che e esist une diference tra chest ultin esempli e i doi precedents. Il numar irazionâl ${\sqrt {2}}$ al è une soluzion de ecuazion polinomiâl $x^{2}-2=0$ e a si dîs un numar algjebric. Al contrari, si pues dimostrâ che no esistin ecuazions polinomiâls $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x_{1}+a_{0}=0$ cun coeficients ${\{a_{i}\}}_{i=0}^{n}$ razionâi che a vedin $\pi$ o $e$ come soluzion.  I numars irazionâi di chest tip si disin numars trassendents.

Par rapresentâ i numars reâi si pues ancje usâ une rete ordenade o as cartesian e si dîs che e esist une corispondence biunivoche tra i ponts de rete e i numars reâi o, in maniere ecuivalente, che a cualsisei pont de rete si pues associâ un e un sôl numar reâl. Chest as al ven clamât rete reâl. Intes figuris a drete si pues viodi come cjatâ i ponts che a corispuindin a ${\sqrt {2}}$ e $\pi$ cun des costruzions gjeometrichis.

$\mathbf {\sqrt {2}}$ al è irazionâl

Il numar ${\sqrt {2}}$ al è la soluzion positive ae ecuazion $x^{2}-2=0$ e si à ${{\bigl (}{\sqrt {2}}{\bigr )}}^{2}={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=2$. Par dimostrâ che al è un numar irazionâl si pues resonâ par assurt. Se ${\sqrt {2}}$ al fos razionâl, a esistaressin doi numars intîrs positîfs $m$ e $n$ tai che ${\sqrt {2}}=m/n$. Par semplicitât, e cence pierdi gjeneralitât, $m$ e $n$ si cjapin prins tra lôr. In altris peraulis, $m$ e $n$ no àn fatôrs comuns e cualsisei altre frazion $p/q={\sqrt {2}}$ e je de forme $p/q=(am)/(an)$, cun $a\in \mathbb {Z}$. Viodût che ${{\bigl (}{\sqrt {2}}{\bigr )}}^{2}=2$, se la ipotesi di partence e fos corete, si varès ancje $m^{2}/n^{2}=2$ o, ecuivalentementri, $m^{2}=2n^{2}$. Duncje, $m^{2}$ al varès di jessi pâr e chest al sarès pussibil dome se ancje $m$ al fos pâr. Alore, al varès di esisti un numar intîr $r$ tal che $m=2r$. Continuant cul resonament, se $m^{2}=2n^{2}$ e $m=2r$, al sarès $4r^{2}=2n^{2}$, val a dî $2r^{2}=n^{2}$. Cheste ultime identitât e impliche che ancje $n$ al sarès un numar pari. Metint in struc i risultâts principâi, se ${\sqrt {2}}$ al fos razionâl e ${\sqrt {2}}=m/n$, alore $m$ e $n$ a saressin ducj i doi dai numars pâr. Però, viodût che la frazion $m/n$ e je iridusibile, $m$ e $n$ no àn nissun fatôr comun e, in particolâr, no puedin jessi ducj i doi dai multiplis di 2 (dai numars pâr). Stant che la ipotesi di partence (${\sqrt {2}}$ al è razionâl) e parte a un assurt ($m$ e $n$ a son ducj i doi pâr), si pues concludi che e je sbaliade e, duncje, che ${\sqrt {2}}$ al è un numar irazionâl.

Struture di $\mathbb {R}$

Prime di dâ une definizion rigorose dai numars reâi, al conven introdusi des proprietâts dal insiemi $\mathbb {R}$ che lu incuadrin dentri di classis matematichis plui gjenerâls.

Struture algjebriche

Di un pont di viste algjebric, l'insiemi $\mathbb {R}$ dai numars reâi al è un cjamp. Di fat, lis dôs operazions fondamentâls tra i elements di $\mathbb {R}$, la some "+" e il prodot "$\cdot$", a sodisfin chestis proprietâts:

1. P. comutative: l'ordin cun cui doi numars reâi $a$ e $b$ a vegnin somâts o moltiplicât nol à impuartance
   $$a+b=b+a\qquad \qquad a\cdot b=b\cdot a$$
2. P. associative: par trê cualsisei numars reâi $a$, $b$ e $c$ si à
   $$(a+b)+c=a+(b+c)\qquad \qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$
3. P. distributive de some rispiet al prodot:  par trê cualsisei numars reâi $a$, $b$ e $c$ si à
   $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
4. Esistence dai elements neutris: lis dôs operazions a ametin un element neutri. Pe some al è il 0
   $$a+0=a$$
   e pal prodot al è il 1
   $$a\cdot 1=a$$
   par cualsisei $a\in \mathbb {R}$;
5. Esistence dai opuescj: cualsisei numar reâl $a$ al à un opuest ${\tilde {a}}$: sumant i doi numars si oten l'element neutri de sume
   $$a+{\tilde {a}}=0$$
6. Esistence dai inviers: cualsisei numar reâl diferent di zero $a\neq 0$ al à un inviers, val a dî che al esist un numar ${\bar {a}}$ che moltiplicât par $a$ al dâ l'element neutri dal prodot
   $$a\cdot {\bar {a}}=1.$$

Al è util menzonâ che pal prodot (o moltiplicazion) si use ancje il simbul "$\times$" (par esempli, $a\times b$) o, plui semplicementri, nissun simbul (par esempli, $ab$). Par prionte, al è facil viodi che l'opuest di $a$ al è ${\tilde {a}}=-a$. Duncje, la sotrazion e je semplicementri une some cun l'opuest: $a-b=a+(-b)$. Il stes discors al vâl pal inviers e la division: ${\bar {a}}={\frac {1}{a}}$ e ${\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}$.

Se si prove a verificâ cualis des sîs proprietâts a son sodisfatis inta chei altris insiemis numerics introdots inte Sezion 1.1, si viodarà che l'insiemi dai numars razionâi $\mathbb {Q}$ al è ancje chel un cjamp, za che dutis lis proprietâts si cumplissin. I numars intîrs $\mathbb {Z}$, invezit, no sodisfin la proprietât 6, e i numars naturâi $\mathbb {N}$ nancje la proprietât 5.

Leç di anulament dal prodot

Introdusìn chi un risultât che al vâl in ducj i cjamps algjebrics (ancje se l'enunziât si riferìs dome a $\mathbb {R}$) e che al è une direte conseguence de proprietâts elencadis parsore. La leç di anulament dal prodot e je une vore utile inte risoluzion des ecuazions.

A sedin $a$ e $b$ doi numars reâi. Se il lôr prodot al è nul, alore almancul un dai doi al à di jessi nul, val a dî

$$ab=0\Leftrightarrow (a=0){\text{ o }}(b=0).$$

Dimostrazion

$a$ al pues jessi avuâl a zero o diviers di 0. Se al è avuâl, la dimostrazion e je finide.

Se al è diviers di 0, alore al esist l'inviers di $a$. Il prodot ${\frac {1}{a}}(ab)$ al è avuâl a zero za che $ab=0$. Però, pe proprietât associative de moltiplicazion si à

$$0={\frac {1}{a}}\cdot (ab)={\biggl (}{\frac {1}{a}}\cdot a{\biggr )}b=1\cdot b=b$$

e, duncje, $b=0$.

Struture di ordin

In maniere intuitive si sa che, dâts doi numars, al è simpri pussibil ordenâju, o sei dî cuâl dai doi al è plui piçul di chel altri. Elenchìn cumò des proprietâts che a definissin in maniere rigorose l'ordin dai numars reâi e che a identifichin l'insiemi $\mathbb {R}$ come un cjamp totalmentri ordenât.

Par cualsisei numars reâi $a$, $b$ e $c$ si à

1. P. riflessive: $a\leq a$;
2. P. antisimetriche: se $a\leq b$ e $b\leq a$, alore $a=b$;
3. P. transitive: se $a\leq b$ e $b\leq c$, alore $a\leq c$;
4. P. de confrontabilitât: almancul une des dôs disavualitâts $a\leq b$ e $b\leq a$ si verifiche;
5. se $a\leq b$ alore $a+c\leq b+c$;
6. Regule dai segns:
   • se $a\geq 0$ e $b\geq 0$ alore $ab\geq 0$,
   • se $a\leq 0$ e $b\leq 0$ alore $ab\geq 0$,
   • se $a\geq 0$ e $b\leq 0$ alore $ab\leq 0$,
   • se $a\leq 0$ e $b\geq 0$ alore $ab\leq 0$.

Definizion formâl dai numars reâi

A esistin diviersis manieris di definî l'insiemi $\mathbb {R}$ dai numars reâi in maniere rigorose. Chi daurman o din dome une definizion, viodût che lis altri a son un pôc plui complicadis e a àn bisugne di nozions matematichis no elementârs.

Definizion assiomatiche

Al sedi $\mathbb {R}$ l'insiemi dai numars reâi. Alore:

• $\mathbb {R}$ al è un cjamp, o sei lis operazions di some e moltiplicazion a son definidis e a cumplissin dutis lis proprietâts de Sezion 2.1;
• il cjamp $\mathbb {R}$ al è totalmentri ordenât, secont la definizion de Sezion 2.2;
• l'ordin di $\mathbb {R}$ al è complet secont Dedekind: l'estrem superiôr di un cualsisei sotinsiemi no vueit e superiormentri limitât di $\mathbb {R}$ al è un numar reâl.

Chestis trê proprietâts a son suficientis par definî $\mathbb {R}$, viodût che si pues dimostrâ che cualsisei altri insiemi che al sodisfi lis trê proprietâts al "coincît" cun $\mathbb {R}$.

Provìn a spiegâ un pôc miôr la completece secont Dedekind: al sedi ${\mathcal {S}}$ un sotinsiemi no vueit di $\mathbb {R}$. Se ${\mathcal {S}}$ al è superiormentri limitât, alore al à almancul un maiorant, vâl a dî un numar reâl $x$ che al è plui grant di (o avuâl a) cualsisei element di ${\mathcal {S}}$. Clamìn ${\overline {\mathcal {S}}}$ l'insiemi di ducj i maiorants di ${\mathcal {S}}$:

$${\overline {\mathcal {S}}}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq s,\forall s\in {\mathcal {S}}\}.$$

Dî che $\mathbb {R}$ al è complet secont Dedekind al vûl dî che l'insiemi ${\overline {\mathcal {S}}}$ al amet un minim e che chest minim al è un numar reâl.  Par esempli, se ${\mathcal {S}}=\{s\in \mathbb {R} :s^{2}<2\}$, alore il numar reâl ${\sqrt {2}}$ al è il minim dal insiemi dai maiorants ${\overline {\mathcal {S}}}$.

La completece di Dedekind e je fondamentâl inte definizion di $\mathbb {R}$ viodût che e je la proprietât che e diferenzie i numars reâi dai razionâi: ancje $\mathbb {Q}$ al è un cjamp totalmentri ordenât e al rispiete lis primis dôs proprietâts, però nol è complet secont Dedekind. Continuant cul esempli di prime, i maiorants razionâi di ${\mathcal {S}}=\{s:s^{2}<2\}$, vâl a dî i elements dal insiemi ${\overline {{\mathcal {S}}'}}=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}\geq 2\}$, no àn un minim (si pues simpri costruî une frazion plui piçule …) e, di fat, il numar ${\sqrt {2}}$ nol è razionâl.

Costruzions dai numars razionâi

In plui che cun la definizion assiomatiche, i numars reâi si puedin costruî ancje come il completament dai numars razionâi. Par esempli, la tecniche des secuencis di Cauchy e definìs des espansions decimâls come $\{1;1,4;1,41;1,414;1,4142\dots \}$ in maniere che a converzin in maniere univoche a numars reâi. I tais di Dedekind, invezit, a definissin il numar reâl $r$ come il pont che al divît i numars razionâi in dôs parts ${\bigl (}\{x\in \mathbb {Q} :x<r\};\{x\in \mathbb {Q} :x\geq r\}{\bigr )}$.

Proprietâts

Ancje se la plui part des proprietâts dai numars reâi e je za stade nomenade par spiegâ lis carateristichis di $\mathbb {R}$, in cheste sezion si dâ une definizion plui formâl.

Completece

Diviers che cui numars razionâi, i numars reâi a contegnin ducj i limits: a si dîs che i numars reâi a son complets. Par spiegâ cheste proprietât in detai, si à bisugne di dôs definizions:

Une secuence $(x_{n})$ di numars si clame secuence di Cauchy se, par ogni $\epsilon >0$, al esist un intîr $N$ tal che $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$, cualsisei $n$ e $m$ plui grancj di $N$. In altris peraulis, i ultins elements di une sucession di Cauchy a son ducj arbitrariamentri dongje un di chel altri.

Une secuence $(x_{n})$ e converç al limit $x$ se, par ogni $\epsilon >0$, al esist un intîr $N$ tal che $|x_{n}-x|<\epsilon$, cualsisei $n>N$. In altris peraulis, une secuence e à il limit $x$ se i siei elements si svicinin simpri plui a $x$.

Nol è dificil viodi che une secuence di Cauchy e je ancje convergjente. Un fat impuartant dai numars reâi al è che e je vere ancje la afermazion contrarie:

Se un secuence di numars reâi e je une secuence di Cauchy alore e je ancje une secuence convergjente. Duncje, i numars reâi a son complets.

O vin za viodût che la completece e je la principâl diference tra i numars reâi e i numars razionâi. La sucession $\{1;1,4;1,41;1,414;1,4142\dots \}\subset \mathbb {Z}$ di un esempli anteriôr e je une sucession di Cauchy che no converç intai numars razionâi e invezit e converç a ${\sqrt {2}}$ intai numars reâi.

Element separadôr

Une altre proprietât, colegade cun la completece secont Dedekind viodude inte definizion assiomatiche de Sezion 3.1, e je la esistence di un element separadôr:

Dâts doi sotinsiemis no vueits ${\mathcal {A}}$ e ${\mathcal {B}}$ di $\mathbb {R}$ tai che

$$a\leq b\qquad \forall a\in {\mathcal {A}},b\in {\mathcal {B}}$$

al esist un numar reâl $x$ tal che

$$a\leq x\leq b\qquad \forall a\in {\mathcal {A}},b\in {\mathcal {B}}.$$

Cjamp di Archimede complet

L'insiemi $\mathbb {R}$ al è un cjamp di Archimede, ven a stâi al vâl l'assiome chi sot:

Assiome di Eudosso e Archimede
A sedin $x$ e $y$ doi numars reâi positîfs. Alore, al esist un numar naturâl $n$ tal che $nx\geq y.$

David Hilbert al à definît l'insiemi dai numars reâi come il cjamp di Archimede complet. Cun cheste afermazion, Hilbert al voleve dî che i numars reâi a formin il plui grant cjamp di Archimede o, intune altre maniere, che cualsisei cjamp di Archimede al è un sotinsiemi di $\mathbb {R}$. L'insiemi dai numars reâi $\mathbb {R}$ al è duncje complet intal sens che no si pues zontâi altris elements cence pierdi la proprietât di jessi un cjamp di Archimede.

Al è interessant notâ che lis ultimis trê sezions a fevelin de completece di $\mathbb {R}$, però a son trê acezions diviersis che no àn di jessi confondudis.

Cardinalitât

I insiemis numerics $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$ e $\mathbb {R}$ a son ducj insiemis infinîts. Dut câs, là che i prins trê insiemis a àn "il stes numar di elements" (l'ordin di infinît al è il stes), l'insiemi dai numars reâi al è plui grant e, in altris peraulis, l'ordin di infinît al è maiôr. In maniere plui precise, $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ a son insiemis infinîts numerabii, vâl a dî si pues costruî une corispondence biunivoche tra i elements di $\mathbb {N}$ e chei di $\mathbb {Z}$ o di $\mathbb {Q}$. Al contrari, i numars reâi a son no numerabii e no si pues costruî une corispondence biunivoche di $\mathbb {N}$ a $\mathbb {R}$.

Bibliografie

• AA.VV. Numeri, in Grande Dizionario Enciclopedico. 4^a ed. Torino, UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6
• Wikipedia Contributors. Real number, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 8 dicembar 2014, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=639574065>
• Contributori di Wikipedia, Numero reale, in Wikipedia, L'enciclopedia libera, 8 dicembar 2014, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_reale&oldid=69526920>