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In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

Tabele dai contignûts

DefinizionsModifiche

Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi   e l'insiemi   (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi  .

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi   e un ogjet  , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

  1.   al è un element di  : a si dîs che   al aparten a   e si scrîf  ;
  2.   nol è un element di  : a si dîs che   nol aparten a   e si scrîf  .

Chest al impliche che:

  • no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
  • un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

DescrizionModifiche

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

  1. par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
     
     
    Lis dôs definizions di   a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
  2. par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
     
     
    In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
     
     
    Ancje chi,   al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui   e   al sarà spiegât plui indevant).

CardinalitâtModifiche

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis   e   e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements;   e   a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul  .

Insiemis numerics fondamentâiModifiche

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

  • I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
     
  • I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun  
     
  •   al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
     .
  • L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi  .
  • I numars complès   a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant   la unitât imagjinarie, si à
     .

Relazions tra insiemisModifiche

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.

SotinsiemisModifiche

 
  al è un sotinsiemi di  .

L'insiemi   al è un sotinsiemi dal insiemi   se e dome se ducj i elements di   a son ancje elements di  . La scriture doprade e je

 .

Se si è sigûrs che   al vedi ancje elements che no apartegnin a  , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:

 .

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit   e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:

 .

(Nol è un erôr scrivi  .)

Proprietâts de inclusionModifiche

  • Proprietât riflessive: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion

 .

  • Proprietât antisimetriche: se   e   a son doi insiemis tai che

  e   alore  .

  • Proprietât transitive: A sedin   e   trê insiemis. Se si à

  alore  .

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

Insiemi des partsModifiche

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi   si clame insiemi des parts (power set in inglês) di  . Par esempli, se  , l'insiemi des parts   al è

 .

Par un insiemi finît di   elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je   (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

Operazions cui insiemisModifiche

 
Union di doi insiemis.
 
Intersezion di doi insiemis.
 
Insiemi diference di doi insiemis.
 
Complementâr dal insiemi   intal insiemi univiers  .
  • Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
     
    alore la union e je
     .
    Si pues notâ che   e   a son sotinsiemis dal insiemi union   e che i elements comuns ai doi insiemis ( ) no vegnin ripetûts.
  • Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun   e   come prime, si à
     .
    De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
    O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.
  • Insiemi diference: l'insiemi diference di   in   (  o  ) al è l'insiemi dai elements di   che no apartegnin a  . Continuant cul esempli:
     .
  • Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi   al è l'insiemi diference di   intal insiemi univiers. Se o clamìn   l'insiemi univiers e   (o ancje   o  ) il complementâr di  , si à
     .
  • Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian   di doi insiemis   e   a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi   e il secont element intal insiemi  . In simbui:
     
    Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian   e je il prodot des cardinalitâts di   e   (cuant che   e   a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di   a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî  .

Proprietâts des operazionsModifiche

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis   e   a son sotinsiemis dal insiemi univiers  .

  • Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
     ;
     .
  • Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
     ;
     .
  • Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
     
    e de union rispiet ae intersezion
     .
  • Formulis di De Morgan:
     ;
     .

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

BibliografieModifiche