Estrem superiôr e estrem inferiôr

In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

Maiorants e minorants

I ponts blu a rapresentin l'insiemi $A$, i ponts ros cualchi maiorant di $A$. Il romp ros al rapresente l'estrem superiôr di $A$.

Al sedi $A\subseteq \mathbb {R}$ un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di $A$ cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di $A$ (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di $A$ si disin minorants di $A$. In maniere formâl

• $x\in \mathbb {R}$ al è un maiorant di $A\subseteq \mathbb {R}$ se e dome se $a\leq x$, $\forall a\in A$;
• $y\in \mathbb {R}$ al è un minorant di $A\subseteq \mathbb {R}$ se e dome se $a\geq y$, $\forall a\in A$.

Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.

• L'interval sierât $A=[0;2]$ al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di $A$. Al contrari, i minorants di $A$ a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
• L'interval sierât e ilimitât a diestre $B=[1;+\infty )$ al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
• L'insiemi dai numars intîrs $\mathbb {Z}$ nol à ni maiorants ni minorants. Duncje, al è ilimitât.
• L'insiemi $D=\{n^{-1}:n{\text{ intîr diviers di 0}}\}$ al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

Estrem superiôr e estrem inferiôr

Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi $A\subseteq \mathbb {R}$ il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di $A$. Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl $s$ al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi $A$ di $\mathbb {R}$, e si scrîf $s=\sup A$, se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:

1. $s$ al è maiôr di ducj i elements di $A$ e
2. par cualsisei $s'$ reâl minôr di $s$, al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di $A$ che i è maiôr.

In fat, si à $s\geq a$, cualsisei $a\in A$, viodût che $s=\sup A$ al à di jessi un maiorant di $A$. Però $s$ al è il plui piçul dai maiorants: se $s'<s$, alore $s'$ nol è un maiorant di $A$ e, duncje, al esist almancul un element $a\in A$ tal che $a>s'$.

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi $A\in \mathbb {R}$ al à massim $m$, alore si à $m=\sup A$. In fat, l'insiemi dai maiorants di $A$ al è

$$M=\{x:x\geq a,\forall a\in A\}=\{x:x\geq \max A\}=[m;+\infty ).$$

L'estrem superiôr di $A$ al è il minim dai siei maiorants e, duncje,

$$\sup A=\min M=m=\max A.$$

In maniere reciproche, se un insiemi $A$ al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi $A$, alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi $A$. Al baste pensâ che $s=\sup A$ al è un maiorant di $A$ (il plui piçul) e, duncje, $s\geq a$ par cualsisei $a\in A$. Però, cheste proprietât di $s$ e coincît cun la definizion di massim di $A$ cuant che $s\in A$ o, in curt,

$$(s=\sup A){\text{ e }}(s\in A)\Rightarrow s=\max A.$$

Esemplis

Considerant i esemplis fats prime, l'interval $B=[1;+\infty )$ e l'insiemi dai numars intîrs $\mathbb {Z}$ a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval $A=[0;2]$, invezit, al è

$$M=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 2\}=[2;+\infty )$$

e, duncje, l'estrem superiôr di $A$ al è

$$\sup A=\min M=2.$$

Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi

$$D={\biggl \{}{\frac {1}{n}}:n{\text{ intîr diviers di 0}}{\biggr \}}$$

al è $\sup D=1$.

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert $E=(1;3)$ l'insiemi dai maiorants al è

$$M=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 3\}=[3;+\infty ).$$

Chest al vûl dî che

$$\sup E=\min M=3.$$

Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert $E$, che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è

$$F={\biggl \{}-{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}{\biggr \}}={\biggl \{}-1;-{\frac {1}{2}};-{\frac {1}{3}};-{\frac {1}{4}}\dots {\biggr \}}.$$

I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât $M=[0;+\infty )$ e si à $\sup F=\min M=0$. Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e., $\nexists n\in \mathbb {N} :n^{-1}=0$) e, duncje, $F$ nol à massim.

Estrems e completece dai numars reâi

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di $\mathbb {R}$ che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di $\mathbb {R}$ che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl. Cheste proprietât e je cognossude come la completece di $\mathbb {R}$ secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi $\mathbb {Q}$ a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi

$$S={\Bigl \{}x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2{\Bigr \}}={\Bigl \{}x\in \mathbb {Q} :-{\sqrt {2}}\leq x\leq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}.$$

Cuant che o cjalìn $S$ come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è

$$M_{\mathbb {Q} }={\Bigl \{}q\in \mathbb {Q} :q\geq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}$$

Jessint che ${\sqrt {2}}$ nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi

$$M_{\mathbb {Q} }={\Bigl \{}q\in \mathbb {Q} :q>{\sqrt {2}}{\Bigr \}}.$$

Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi $M_{\mathbb {Q} }$ nol à minim e, duncje, l'insiemi $S$ nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di $S$ pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è

$$M_{\mathbb {R} }={\Bigl \{}r\in \mathbb {R} :r\geq {\sqrt {2}}{\Bigr \}}.$$

Cheste volte sì che o podìn dî che $\min M_{\mathbb {R} }={\sqrt {2}}$, sint ${\sqrt {2}}$ un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi, $\sup S={\sqrt {2}}$.

Bibliografie

• AA. VV. Infinitesimale, analisi, in Grande Dizionario Enciclopedico, 4^a ed. Torino: UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6.
• Wikipedia Contributors. Upper and Lower Bounds, in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 4 Zenâr 2016, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upper_and_lower_bounds&oldid=688754000>.
• Wikipedia Contributors. Infimum and Supremum, in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 4 Zenâr 2016, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Infimum_and_supremum&oldid=692329805>.
• Wikipedia Contributors. Least-Upper-Bound Property, in Wikipedia, The Free Enciclopedia, 4 Zenâr 2016, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Least-upper-bound_property&oldid=694192706>.
• Contributori di Wikipedia, Maggiorante e Minorante, in Wikipedia, L’Enciclopedia Libera, 4 Zenâr 2016, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Maggiorante_e_minorante&oldid=75781659>.
• Contributori di Wikipedia, Estremo Superiore e Estremo Inferiore, in Wikipedia, L’Enciclopeida Libera, 4 Zenâr 2016, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Estremo_superiore_e_estremo_inferiore&oldid=75472083>.
• A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.