Distance de origjine.
Il valôr assolût come distance di un pont de rete reâl de origjine.

Il valôr assolût o modul di un numar reâl al è il valôr no-negatîf dal numar, cence il segn. In pratiche, inte rete reâl, al rapresente la distance tra il numar e il zero.

DefinizionModifiche

Dât un numar reâl  , il so valôr assolût si indiche cun   e si definìs come

 
Si pues ancje scrivi
 
lì che si è usade la funzion indicadore  , che e vâl 1 se l'argoment al è vêr e 0 se al è fals. Ricuardant che la lidrîs cuadrade e je simpri positive o nule (par esempli,   ancje se  ), si à ancje
 

ProprietâtsModifiche

Il valôr assolût al gjolt des proprietâts chi sot.

  1. Il valôr assolût di un cualsisei numar reâl al è simpri plui grant o avuâl a zero,
     
  2. Il modul dal prodot di doi numars al è simpri avuâl al prodot dai modui,
     
  3. Il valôr assolût di un numar reâl e dal so opuest a son avuâi,
     
  4. Idempotence. Sint il modul un numar positîf, si à
     
    ven a stâi, il valôr assolût dal valôr assolût di un numar al è il stes valôr assolût.
  5. Disavualitât triangolâr. Il valôr assolût de some di doi numars al è simpri minôr o avuâl ae some dai valôrs assolûts
     
    In particolâr, la avualitât e vâl se e dome se i doi numars a àn il stes segn (a concuardin). Al contrari, il segn di minôr al vâl in câs di discuardance.
Come conseguence de disavualitât triangolâr, si pues ancje scrivi
 

Dimostrazion: Dât che  , pe disavualitât triangolâr si pues scrivi

 
ven a stâi
 
De stesse maniere, si pues provâ che
 
Al baste cumò notâ che   (pe proprietât 4) e che   e, duncje,   al è avuâl o a   o a  . Zontant ducj i risultâts si oten la disavualitât cirude.
La funzion valôr assolût
 
La funzion valôr assolût.

La funzion valôr assolût   e je une funzion reâl di variabil reâl. E je definide ecuivalentementri di une des formis viodudis prime o, doprant la funzion segn  , de forme

 

Come che si pues intuî de figure chi in bande, il valôr assolût al è une funzion

  • continue su dut  ;
  • liniâr a trats;
  • diferenziabil par dut infûr dal pont  ;
  • monotoniche decressinte tal interval   e monotoniche cressinte tal interval  ;
  • convesse;
  • pâr (i.e.  ) e duncje no invertibile.
 
Esemplis di composizion dal valôr assolût.
Gjeneralizazion dal valôr assolût
La operazion valôr assolût di un numar reâl, e la sô interpretazion di misure di distance su la rete reâl, si puedin estindi a altris struturis matematichis. Par esempli, il modul di un numar complès   al è dât di

 
e al rapresente la distance dal pont   de origjine dal plan complès.

Un altri esempli al è la norme di un vetôr  -dimensionâl  , ven a stâi

 
Il numar reâl positîf   al è la misure de lungjece dal vetôr  .

BibliografieModifiche