Insiemi: diferencis tra lis versions

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

 

 

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi <math>A</math> e un ogjet <math>a</math>, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

* un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

 

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

# par ''liste'', o sei disint un a un ducj i elements:<!---

A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0; 33\};

</math><!---

B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\};

</math><!---

# par ''carateristiche'', o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:<!---

C = \{\mbox{i numars pari}\};

</math><!---

D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}.

</math><!---

C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\}

</math><!---

E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}.

</math><!---

 

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis <math>A</math> e <math>B</math> e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis ''finîts'', che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; <math>C</math> e <math>E</math> a son invezit insiemis ''infinîts'' e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la [[cardinalitât]]).

 

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs ''insiemi vueit'' e si indiche cun il simbul <math>\emptyset</math>.

 

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

* I '''numars naturâi''' a son ducj i intîrs no negatîfs:<!---

* I '''numars intîrs relatîfs''', vâl a dî cun segn, si indichin cun <math>\mathbb{Z}</math><!---

* <math>\mathbb{Q}</math> al è l'insiemi dai '''numars razionâi''', ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:<!---

* L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai '''numars reâi''' <math>\mathbb{R}</math>.

* I '''numars complès''' <math>\mathbb{C}</math> a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant <math>i=\sqrt{-1}</math> la ''unitât imagjinarie'', si à<!---

 

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son '''coincidents'''. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin '''disiunts'''.

 

:<math>B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B</math>.

 

(Nol è un erôr scrivi <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math>.)

 

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi <math>A</math> si clame ''insiemi des parts'' ([[:en:power set]] in inglês) di <math>A</math>. Par esempli, se <math>A=\{1,2,3\}</math>, l'insiemi des parts <math>\mathcal{P}(A)</math> al è

:<math>\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}</math>.

Par un insiemi finît di <math>n</math> elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je <math>2^n</math> (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

 

*'''Union''': la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin<!---

 

*'''Intersezion''': la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun <math>A</math> e <math>B</math> come prime, si à<!---

 

*'''Insiemi diference''': l'insiemi diference di <math>A</math> in <math>B</math> (<math>B\setminus A</math> o <math>B-A</math>) al è l'insiemi dai elements di <math>B</math> che no apartegnin a <math>A</math>. Continuant cul esempli:<!---

 

*'''Complementâr''': In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât ''insiemi univiers''; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi <math>A</math> al è l'insiemi diference di <math>A</math> intal insiemi univiers. Se o clamìn <math>U</math> l'insiemi univiers e <math>\bar{A}</math> (o ancje <math>\mathcal{C}_U(A)</math> o <math>A'</math>) il complementâr di <math>A</math>, si à<!---

 

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis.

Intai esemplis che a seguissin, i insiemis <math>A, B</math> e <math>C</math> a son sotinsiemis dal insiemi univiers <math>U</math>.

*'''Proprietât comutative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative<!---

*'''Proprietât associative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis<!---

*'''Proprietât distributive''': de intersezion rispiet ae union<!---

*'''Formulis di De Morgan''':<!---

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

* <math>A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A</math>;

* <math>A\setminus B = A \cap \bar{B}</math>.

 

* G. Spirito. ''Matematica Senza Numeri''. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8

* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. ''La Nomencladure des Matematichis''. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.

* Contributori di Wikipedia. ''Insieme'', in ''Wikipedia, l'Enciclopedia Libera'', 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]

 

 

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[[yi:סכום (מאטעמאטיק)]]

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