Numars reâi: diferencis tra lis versions
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I numars naturâi: nozions di base, definizion e proprietâts. |
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Rie 18:
Par rapresentâ i numars reâi si pues ancje usâ une rete ordenade o '''as cartesian''' e si dîs che e esist une corispondence biunivoche tra i ponts de rete e i numars reâi o, in maniere ecuivalente, che a cualsisei pont de rete si pues associâ un e un sôl numar reâl. Chest as al ven clamât '''rete reâl'''. Intes figuris a drete si pues viodi come cjatâ i ponts che a corispuindin a <math> \sqrt{2}</math> e <math> \pi</math> cun des costruzions gjeometrichis.
{{Aprofondiment
|alineament=centri
|largjece=90%
|titul=<math>\mathbf{\sqrt{2}}</math> al è irazionâl
|contignût=Il numar <math>\sqrt{2}</math> al è la soluzion positive ae ecuazion <math>x^2-2=0</math> e si à <math>{\bigl(\sqrt{2}\bigr)}^2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2</math>. Par dimostrâ che al è un numar irazionâl si pues resonâ par assurt. Se <math>\sqrt{2}</math> al fos razionâl, a esistaressin doi numars intîrs positîfs <math>m</math> e <math>n</math> tai che <math>\sqrt{2}=m/n</math>. Par semplicitât, e cence pierdi gjeneralitât, <math>m</math> e <math>n</math> si cjapin prins tra lôr. In altris peraulis, <math>m</math> e <math>n</math> no àn fatôrs comuns e cualsisei altre frazion <math>p/q=\sqrt{2}</math> e je de forme <math>p/q=(am)/(an)</math>, cun <math>a\in\mathbb{Z}</math>.
Viodût che <math>{\bigl(\sqrt{2}\bigr)}^2=2</math>, se la ipotesi di partence e fos corete, si varès ancje <math>m^2/n^2=2</math> o, ecuivalentementri, <math>m^2=2n^2</math>. Duncje, <math>m^2</math> al varès di jessi pâr e chest al sarès pussibil dome se ancje <math>m</math> al fos pâr. Alore, al varès di esisti un numar intîr <math>r</math> tal che <math>m=2r</math>. Continuant cul resonament, se <math>m^2=2n^2</math> e <math>m=2r</math>, al sarès <math>4r^2=2n^2</math>, val a dî <math>2r^2=n^2</math>. Cheste ultime identitât e impliche che ancje <math>n</math> al sarès un numar pari.
Metint in struc i risultâts principâi, se <math>\sqrt{2}</math> al fos razionâl e <math>\sqrt{2}=m/n</math>, alore <math>m</math> e <math>n</math> a saressin ducj i doi dai numars pâr. Però, viodût che la frazion <math>m/n</math> e je iridusibile, <math>m</math> e <math>n</math> no àn nissun fatôr comun e, in particolâr, no puedin jessi ducj i doi dai multiplis di 2 (dai numars pâr). Stant che la ipotesi di partence (<math>\sqrt{2}</math> al è razionâl) e parte a un assurt (<math>m</math> e <math>n</math> a son ducj i doi pâr), si pues concludi che e je sbaliade e, duncje, che <math>\sqrt{2}</math> al è un numar irazionâl.}}
== Struture di <math>\mathbb{R}</math> ==
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